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A rendibilidade de cada um dos ativos (8,50%) e o variância. A variância de uma soma não é, geralmente, a
risco associado (σ = 1,71%) são os mesmos. De acordo, soma das variâncias. É a soma das variâncias de cada
com esta premissa poder-se-ia tirar a conclusão que é variável aleatória adicionada das covariâncias para cada
indiferente aplicar em qualquer um deles. No entanto, se par de variáveis.
tivermos uma carteira diversificada, consegue-se ter a
mesma rendibilidade e reduzir o risco. Para o caso de duas variáveis:

Os investidores preferem, assim, uma rendibilidade Variância (X + Y) =σ (X + Y) = V(X) + V(Y) + 2 COV (X,Y)
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esperada superior a uma rendibilidade inferior para uma
dada variância da carteira. Inversamente, preferem uma ou
variância inferior a uma variância superior da rendibilida-
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de da carteira para um dado nível de rendibilidade. Os Variância (X+Y) = σ (X) + σ (Y) + 2 ρXY σXσY
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investidores tentam essencialmente diversificar as suas
carteiras, em vez de preferirem um único ativo com ren- Assim, se a covariância for diferente de zero, a vari-
dibilidade esperada mais elevada. Em seguida apresen- ância da soma difere da soma das variâncias. No caso
tam-se alguns exercícios de aplicação das duas variáveis serem independentes, tem-se que a
covariância é igual a zero
Retomando os dados anteriores, suponha-se agora
que em vez de se investir na totalidade num dos ativos, Variância (X+Y) = σ (X) + σ (Y)
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imagine-se duas carteiras:
Exemplo de cálculo da variância da soma
Carteira 1: 50% do ativo X e 50% do ativo Y
Volatilidade (desvio-padrão) do ativo A: 2,53%
Carteira 2: 50% do ativo X e 50% do ativo Z
Volatilidade (desvio-padrão) do ativo B: 1,82%
carteira 1 carteira 2
Período 50%X 50%X O coeficiente de correlação entre os dois ativos:
50%Y 50%Z
1 8,50% 6,00% 38,90%
2 8,50% 7,00%
3 8,50% 8,00%
4 8,50% 9,00% A variância da soma é:
5 8,50% 10,00%
6 8,50% 11,00%
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V (A + B) = 2,53% + 1,82% + 2 x 38,90% x 2,53%
Média 8,50% 8,50%
Desvio-padrão 0,00% 1,71% x 1,82% = 0,1330%

Da análise do quadro, conclui-se que a combinação A volatilidade é:
do ativo X com o ativo Y conduziu a um risco nulo (o
coeficiente de correlação é zero); enquanto que a combi- σXY = = 3,6463%<4,35% (2,53% +
nação do ativo X com o ativo Z não teve qualquer efeito 1,82%)
na redução do risco (o coeficiente de correlação é 1).
Assim, através da diversificação, os investimentos po- A volatilidade é inferior à soma das volatilidades.
dem ser combinados de forma a reduzir o risco, não per- Esta é a essência da diversificação. Combinando riscos
dendo rendibilidade. Além disso, quanto maior for a cor- implica que o risco da soma, medido pela volatilidade, é
relação negativa entre os ativos, maiores os benefícios menor que a soma dos riscos. Os riscos não se adicio-
em termos de risco, resultantes da diversificação. Note- nam aritmeticamente, exceto no caso extremo quando a
se que, em nenhum caso, a carteira diversificada terá correlação é perfeita.
mais risco do que o ativo mais arriscado nela incluída
Exemplo aplicado a duas moedas
Deste modo, a volatilidade de uma soma depende
das correlações entre as variáveis. É a raiz quadrada da Considere-se duas moedas e a função densidade